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第2問

三角形 ABCABC において、辺 ABAB 上に点 DD が存在して CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均になるのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2} が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。
ステップ 2/5: 2つの関係式を掛け合わせる
前のステップ次のステップ
CD=AD⋅sin⁡Asin⁡C1,CD=BD⋅sin⁡Bsin⁡C2 ⇒ CD2=AD⋅BD⋅sin⁡Asin⁡Bsin⁡C1sin⁡C2CD=AD\cdot\frac{\sin A}{\sin C_1},\quad CD=BD\cdot\frac{\sin B}{\sin C_2}\ \Rightarrow\ CD^2=AD\cdot BD\cdot\frac{\sin A\sin B}{\sin C_1\sin C_2}
詳しい解説

それぞれの関係式を CDCD について解いて掛け合わせると CD2=AD⋅BD⋅sin⁡Asin⁡Bsin⁡C1sin⁡C2CD^2=AD\cdot BD\cdot\dfrac{\sin A\sin B}{\sin C_1\sin C_2} となる。したがって CD2=AD⋅BDCD^2=AD\cdot BD が成り立つのは、DD によって定まる分割 C=C1+C2C=C_1+C_2 に対して sin⁡Asin⁡B=sin⁡C1sin⁡C2\sin A\sin B=\sin C_1\sin C_2 となるとき、かつそのときに限る。