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第2問

三角形 ABCABC において、辺 ABAB 上に点 DD が存在して CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均になるのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2} が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。
ステップ 3/5: 角の分割問題として言い換える
前のステップ次のステップ
sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2 ⟺ ∃ C1+C2=C: sin⁡C1sin⁡C2=sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}\ \Longleftrightarrow\ \exists\,C_1+C_2=C:\ \sin C_1\sin C_2=\sin A\sin B
詳しい解説

したがって元の問い——ABAB 上に CD2=AD⋅DBCD^2=AD\cdot DB を満たす点 DD が存在するか——は、∠C\angle C を C1+C2C_1+C_2(C1,C2>0C_1,C_2>0)に分割して sin⁡C1sin⁡C2=sin⁡Asin⁡B\sin C_1\sin C_2=\sin A\sin B とできるか、という問いと同値である。ここで、分割 C1+C2=CC_1+C_2=C を動かしたとき sin⁡C1sin⁡C2\sin C_1\sin C_2 がとりうる値をちょうど求める。