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第2問

三角形 ABCABC において、辺 ABAB 上に点 DD が存在して CDCD が ADAD と DBDB の相乗平均になるのは、sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2} が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。
ステップ 4/5: sin⁡C1sin⁡C2\sin C_1\sin C_2 の値域はちょうど [0,sin⁡2C2]\bigl[0,\sin^2\frac{C}{2}\bigr] である
前のステップ次のステップ
f(x)=sin⁡ ⁣(C2+x)sin⁡ ⁣(C2−x)=cos⁡(2x)−cos⁡C2,x∈[0,C2]f(x)=\sin\!\left(\tfrac{C}{2}+x\right)\sin\!\left(\tfrac{C}{2}-x\right)=\frac{\cos(2x)-\cos C}{2},\quad x\in\left[0,\tfrac{C}{2}\right]
詳しい解説

x∈[0,C2]x\in[0,\tfrac{C}{2}] として C1=C2+xC_1=\tfrac{C}{2}+x、C2=C2−xC_2=\tfrac{C}{2}-x とおく(x=0x=0 で CC を均等に分割し、x=C/2x=C/2 で C2=0C_2=0 となる)。このとき sin⁡C1sin⁡C2=f(x)=cos⁡(2x)−cos⁡C2\sin C_1\sin C_2=f(x)=\dfrac{\cos(2x)-\cos C}{2} であり、これは f(0)=1−cos⁡C2=sin⁡2C2f(0)=\dfrac{1-\cos C}{2}=\sin^2\frac{C}{2} から f(C/2)=0f(C/2)=0 まで連続的に減少するコサイン曲線の一部である。したがって分割を動かすと、sin⁡C1sin⁡C2\sin C_1\sin C_2 は [0,sin⁡2C2]\bigl[0,\sin^2\frac{C}{2}\bigr] のすべての値をとり、それ以外の値はとらない。