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国際数学オリンピック · 1975年

問題

  1. 第1問実数 x1≥x2≥⋯≥xnx_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n と y1≥y2≥⋯≥yny_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n が与えられているとする。z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n が y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n の任意の並べ替えであるとき、∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2 が成り立つことを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots を正の整数からなる無限増加数列とする。任意の p≥1p \ge 1 に対して、am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_q の形（ただし x,yx, y は正の整数、q>pq > p）に書ける ama_m が無限に存在することを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問任意の三角形 ABCABC の各辺の外側に、三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ を ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ、∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ、∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ となるように作る。∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ かつ QR=RPQR = RP であることを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問444444444444^{4444} を10進法で表したとき、その各桁の和を AA とする。AA の各桁の和を BB とする。BB の各桁の和を求めよ。（AA、BB はいずれも10進法で表す。）解答: 1
  5. 第5問半径1の円周上に、任意の2点間の距離がすべて有理数となるような 19751975 個の点を取れるかどうかを、証明付きで判定せよ。解答: 1
  6. 第6問正の整数 nn に対し、すべての実数 t,x,yt,x,y で P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y) を満たし、さらにすべての実数 a,b,ca,b,c で P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0 を満たし、P(1,0)=1P(1,0)=1 となる2変数多項式 PP をすべて求めよ。解答: 1