MathLabs

第1問

実数 x1≥x2≥⋯≥xnx_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n と y1≥y2≥⋯≥yny_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n が与えられているとする。z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n が y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n の任意の並べ替えであるとき、∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2 が成り立つことを証明せよ。
ステップ 2/5: 平方を展開して交差項を取り出す
前のステップ次のステップ
∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2  ⟺  ∑i=1nxiyi≥∑i=1nxizi\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2 \iff \sum_{i=1}^n x_i y_i \ge \sum_{i=1}^n x_i z_i
詳しい解説

両辺を展開すると ∑xi2−2∑xiyi+∑yi2\sum x_i^2 - 2\sum x_i y_i + \sum y_i^2 と ∑xi2−2∑xizi+∑zi2\sum x_i^2 - 2\sum x_i z_i + \sum z_i^2 が得られる。zz は yy を並べ替えたものにすぎないので ∑yi2=∑zi2\sum y_i^2 = \sum z_i^2 であり、∑xi2\sum x_i^2 は両辺に共通する。同じ項を消去すると、もとの不等式は∑xiyi≥∑xizi\sum x_i y_i \ge \sum x_i z_i とまったく同値になる。すなわち、xx と yy を整列させて組み合わせることが、xx と yy の任意の並べ替えとの組み合わせの中で内積を最大にする。