MathLabs

第1問

実数 x1≥x2≥⋯≥xnx_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n と y1≥y2≥⋯≥yny_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n が与えられているとする。z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots, z_n が y1,y2,…,yny_1, y_2, \ldots, y_n の任意の並べ替えであるとき、∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2 が成り立つことを証明せよ。
ステップ 5/5: もとの不等式を結論づける
前のステップ次のステップ
∑i=1nxiyi≥∑i=1nxizi  ⟹  ∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^n x_iy_i \ge \sum_{i=1}^n x_iz_i \implies \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2
詳しい解説

ステップ3により、出発点とした任意の並べ替え zz について ∑xiyi≥∑xizi\sum x_iy_i \ge \sum x_iz_i が成り立ち、これはステップ1により ∑i=1n(xi−yi)2≤∑i=1n(xi−zi)2\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^2 と完全に同値である。zz は yy の任意の並べ替えであったから、この不等式はすべての並べ替えについて成り立ち、証明が完了する。等号がすべて成り立つのは、転倒を直す入れ替えが何も変えなかったとき、すなわち zz がすでに等しい値を yy と同じように組み合わせているときに限る。