aik≡r(modap)a_{i_k} \equiv r \pmod{a_p}aik≡r(modap) を満たすすべての項からなる（無限）部分列を ai1<ai2<ai3<⋯a_{i_1} < a_{i_2} < a_{i_3} < \cdotsai1<ai2<ai3<⋯ とする。もとの数列は無限なので、有限個の項を除いて、すべての添字 iki_kik が ik>pi_k > pik>p を満たすようにできる。q=i1q = i_1q=i1 とおくと q>pq > pq>p である。このとき k≥2k \ge 2k≥2 を満たすすべての項 aika_{i_k}aik は aik≡aq≡r(modap)a_{i_k} \equiv a_q \equiv r \pmod{a_p}aik≡aq≡r(modap) を満たすので、ap∣(aik−aq)a_p \mid (a_{i_k} - a_q)ap∣(aik−aq) が成り立つ。