ステップ3はすべての k≥2k \ge 2k≥2 に適用でき、部分列 (aik)k≥1(a_{i_k})_{k \ge 1}(aik)k≥1 は無限であるから、am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_qam=xap+yaq（x,yx, yx,y は正の整数、q=i1>pq = i_1 > pq=i1>p）を満たす添字 m=ikm = i_km=ik（k≥2k \ge 2k≥2）は無限に存在する。p≥1p \ge 1p≥1 は任意であったから、これはすべての ppp について成り立ち、まさに証明すべき主張そのものである。■\blacksquare■