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第3問

任意の三角形 ABCABC の各辺の外側に、三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ を ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ、∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ、∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ となるように作る。∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ かつ QR=RPQR = RP であることを証明せよ。
ステップ 1/6: 3つの小さな三角形と目標となる主張を設定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

PP、QQ、RR はそれぞれ ABCABC の一辺に外向きに貼り付けられた三角形の頂点である。関係するすべての底角（45∘,30∘,15∘45^\circ, 30^\circ, 15^\circ）が「きれいな」角であるため、長さ PB,PC,QA,QC,RA,RBPB, PC, QA, QC, RA, RB はすべて正弦定理により正確に書き下すことができ、RR において RPRP と RQRQ がなす角も、ABCABC の各頂点の周りで既知の 45∘/30∘/15∘45^\circ/30^\circ/15^\circ の断片を足し合わせるだけで追跡できる。問題全体が余弦定理による計算に帰着する。

a=BC, b=CA, c=AB;∠PBC=45∘,∠PCB=30∘; ∠QAC=45∘,∠QCA=30∘; ∠RAB=∠RBA=15∘a=BC,\ b=CA,\ c=AB;\quad \angle PBC=45^\circ,\angle PCB=30^\circ;\ \angle QAC=45^\circ,\angle QCA=30^\circ;\ \angle RAB=\angle RBA=15^\circ
詳しい解説

a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB とし、A,B,CA,B,C はそれらの頂点における △ABC\triangle ABC の角も表すとする。三角形 BCPBCP は ∠PBC=45∘\angle PBC=45^\circ、∠PCB=30∘\angle PCB=30^\circ より ∠BPC=105∘\angle BPC=105^\circ；三角形 CAQCAQ は ∠QAC=45∘\angle QAC=45^\circ、∠QCA=30∘\angle QCA=30^\circ より ∠AQC=105∘\angle AQC=105^\circ；三角形 ABRABR は ∠RAB=∠RBA=15∘\angle RAB=\angle RBA=15^\circ より ∠ARB=150∘\angle ARB=150^\circ である。目標は ∠PRQ=90∘\angle PRQ = 90^\circ かつ RP=RQRP=RQ を示すことである。