MathLabs

第3問

任意の三角形 ABCABC の各辺の外側に、三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ を ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ、∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ、∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ となるように作る。∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ かつ QR=RPQR = RP であることを証明せよ。
ステップ 2/6: 正弦定理で6つの補助辺の長さを求める
前のステップ次のステップ
PB=asin⁡30∘sin⁡105∘, PC=asin⁡45∘sin⁡105∘, QA=bsin⁡30∘sin⁡105∘, QC=bsin⁡45∘sin⁡105∘, RA=RB=csin⁡15∘sin⁡150∘PB=\frac{a\sin30^\circ}{\sin105^\circ},\ PC=\frac{a\sin45^\circ}{\sin105^\circ},\ QA=\frac{b\sin30^\circ}{\sin105^\circ},\ QC=\frac{b\sin45^\circ}{\sin105^\circ},\ RA=RB=\frac{c\sin15^\circ}{\sin150^\circ}
詳しい解説

BCPBCP、CAQCAQ、ABRABR に正弦定理を適用する。それぞれの角は順に 45∘,30∘,105∘45^\circ,30^\circ,105^\circ、45∘,30∘,105∘45^\circ,30^\circ,105^\circ、15∘,15∘,150∘15^\circ,15^\circ,150^\circ である。a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB とすれば、表示した公式を得る。