MathLabs

第3問

任意の三角形 ABCABC の各辺の外側に、三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ を ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ、∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ、∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ となるように作る。∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ かつ QR=RPQR = RP であることを証明せよ。
ステップ 4/6: PBRPBR、QARQAR、PCQPCQ に余弦定理を適用する
前のステップ次のステップ
PR2=PB2+RB2−2PB RBcos⁡(B+60∘),QR2=QA2+RA2−2QA RAcos⁡(A+60∘),PQ2=PC2+QC2−2PC QCcos⁡(C+60∘)PR^2=PB^2+RB^2-2PB\,RB\cos(B+60^\circ),\quad QR^2=QA^2+RA^2-2QA\,RA\cos(A+60^\circ),\quad PQ^2=PC^2+QC^2-2PC\,QC\cos(C+60^\circ)
詳しい解説

各三角形に余弦定理を適用し、挟角にはステップ3、隣接する辺にはステップ2を用いると、表示した3つの等式がそのまま得られる。