MathLabs

第3問

任意の三角形 ABCABC の各辺の外側に、三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ を ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ、∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ、∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ となるように作る。∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ かつ QR=RPQR = RP であることを証明せよ。
ステップ 5/6: 三角形の恒等式で整理する
前のステップ次のステップ
PR2−QR2=0,PR2+QR2−PQ2=0PR^2-QR^2=0,\qquad PR^2+QR^2-PQ^2=0
詳しい解説

ステップ2の正弦定理の値をステップ4に代入し、cos⁡(X+60∘)\cos(X+60^\circ) を展開して、ABCABC の正弦定理・余弦定理 asin⁡B=bsin⁡Aa\sin B=b\sin A、accos⁡B=(a2+c2−b2)/2ac\cos B=(a^2+c^2-b^2)/2、bccos⁡A=(b2+c2−a2)/2bc\cos A=(b^2+c^2-a^2)/2 を用いる。項が相殺され、PR2=QR2PR^2=QR^2 と PR2+QR2=PQ2PR^2+QR^2=PQ^2 を得る。