MathLabs

第3問

任意の三角形 ABCABC の各辺の外側に、三角形 ABRABR、BCPBCP、CAQCAQ を ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ、∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ、∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ となるように作る。∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ かつ QR=RPQR = RP であることを証明せよ。
ステップ 6/6: 結論: PQRPQR は二等辺直角三角形
前のステップ次のステップ
PR=QR,PR2+QR2=PQ2  ⟹  ∠PRQ=90∘PR=QR,\quad PR^2+QR^2=PQ^2\implies \angle PRQ=90^\circ
詳しい解説

ステップ5の第1式より、長さは非負なので PR=QRPR=QR である。第2式は三角形 PQRPQR における斜辺 PQPQ のピタゴラス関係であり、余弦定理から cos⁡∠PRQ=(PR2+QR2−PQ2)/(2PR QR)=0\cos\angle PRQ=(PR^2+QR^2-PQ^2)/(2PR\,QR)=0 とも分かる。したがって ∠PRQ=90∘\angle PRQ=90^\circ であり、結論が得られる。