第4問

4444^{4444}

を10進法で表したとき、その各桁の和を

A

とする。

A

の各桁の和を

B

とする。

B

の各桁の和を求めよ。（

A

、

B

はいずれも10進法で表す。）

ステップ 1/6:

4444^{4444}

の桁数を評価する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$4444^{4444}$ の正確な値を追いかけるのは絶望的である（数万桁もある）。そこで、それを計算しないというのが鍵となる。まずその桁数の和がどれだけ大きくなり得るかを評価し、次にその数の桁数の和を評価し、最後に桁数の和が常に従う9を法とした算術によって最終的な桁数の和を確定させる。

4444^{4444} < 10000^{4444} = 10^{17776}

詳しい解説

$4444 < 10000 = 10^4$ なので、 $4444$ 乗すると $4444^{4444} < (10^4)^{4444} = 10^{17776}$ となる。 $10^{17776}$ より小さい正の整数の桁数は高々 $17776$ 桁であり、各桁は高々 $9$ であるから、その桁の和 $A$ は $A \le 9 \cdot 17776 = 159984$ を満たす。