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第4問

444444444444^{4444} を10進法で表したとき、その各桁の和を AA とする。AA の各桁の和を BB とする。BB の各桁の和を求めよ。（AA、BB はいずれも10進法で表す。）
ステップ 4/6: 桁の和は9を法とした剰余を保つ
前のステップ次のステップ
N≡S(N)(mod9)  ⟹  44444444≡A≡B≡S(B)(mod9)N \equiv S(N) \pmod 9 \implies 4444^{4444} \equiv A \equiv B \equiv S(B) \pmod 9
詳しい解説

1010 のどの冪も ≡1(mod9)\equiv 1 \pmod 9 であるから、ある数とその桁の和は常に 99 を法として合同である。N=∑kak10kN = \sum_k a_k 10^k と書くと N≡∑kak=S(N)(mod9)N \equiv \sum_k a_k = S(N) \pmod 9 となる。これを3回適用すると 44444444≡A≡B≡S(B)(mod9)4444^{4444} \equiv A \equiv B \equiv S(B) \pmod 9 が得られる。