MathLabs

第4問

444444444444^{4444} を10進法で表したとき、その各桁の和を AA とする。AA の各桁の和を BB とする。BB の各桁の和を求めよ。（AA、BB はいずれも10進法で表す。）
ステップ 6/6: 評価と剰余を組み合わせて S(B)S(B) を確定する
前のステップ次のステップ
S(B)≤12, S(B)≡7(mod9), S(B)≥1  ⟹  S(B)=7S(B)\le 12,\ S(B)\equiv 7\pmod 9,\ S(B)\ge 1 \implies S(B)=7
詳しい解説

ステップ4より S(B)≡44444444≡7(mod9)S(B) \equiv 4444^{4444} \equiv 7 \pmod 9（ステップ5）。ステップ2–3より 1≤S(B)≤121 \le S(B) \le 12（正の整数の桁の和なので少なくとも 11 である）。{1,…,12}\{1, \ldots, 12\} の中で 99を法として 77 に合同な整数は 77 自身のみである（次の候補 1616 はすでに上限を超えている）。したがって S(B)=7S(B) = 7。■\blacksquare