第6問

正の整数

n

に対し、すべての実数

t,x,y

で

P(tx,ty)=t^nP(x,y)

を満たし、さらにすべての実数

a,b,c

で

P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0

を満たし、

P(1,0)=1

となる2変数多項式

P

をすべて求めよ。

ステップ 2/6: 一次因子を求める

3P(2u,u)=0\implies P(2u,u)=0\implies (x-2y)\mid P(x,y)

詳しい解説

巡回恒等式で $a=b=c=u$ と置くと、すべての $u$ で $3P(2u,u)=0$ 。よって $P$ は $x=2y$ 上で消え、 $P$ は $x-2y$ を因子にもつ。