第6問

正の整数

n

に対し、すべての実数

t,x,y

で

P(tx,ty)=t^nP(x,y)

を満たし、さらにすべての実数

a,b,c

で

P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0

を満たし、

P(1,0)=1

となる2変数多項式

P

をすべて求めよ。

ステップ 3/6:

Q

の不変性を導く

P(x,y)=(x-2y)Q(x,y),\quad \deg Q=n-1

詳しい解説

$P=(x-2y)Q$ と書く。巡回恒等式に $(a,b,c)=(a,b,b)$ を代入すると $2(a-b)[Q(a+b,b)-Q(2b,a)]=0$ 、したがってすべての $x,y$ で $Q(x,y)=Q(2y,x-y)$ 。