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第6問

正の整数 nn に対し、すべての実数 t,x,yt,x,y で P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y) を満たし、さらにすべての実数 a,b,ca,b,c で P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0 を満たし、P(1,0)=1P(1,0)=1 となる2変数多項式 PP をすべて求めよ。
ステップ 5/6: 斉次性と規格化を用いる
前のステップ次のステップ
Q(x,y)=Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)n−1=(x+y)n−1Q(x,y)=Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)^{n-1}=(x+y)^{n-1}
詳しい解説

ステップ4で d=yd=y とすると Q(x,y)=Q(x+y,0)Q(x,y)=Q(x+y,0)。斉次性より Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)n−1Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)^{n-1}。P(1,0)=Q(1,0)=1P(1,0)=Q(1,0)=1 なので、Q=(x+y)n−1Q=(x+y)^{n-1}、従って P=(x−2y)(x+y)n−1P=(x-2y)(x+y)^{n-1}。