写像x↦x2−2x\mapsto x^2-2x↦x2−2は、実はコサインの倍角公式が姿を変えたものである。この隠れた三角関数的構造に気づくことが、P1P_1P1の反復合成を扱いやすくする鍵となる。
正の $x$ 軸から角 $\theta$ をなす半径を描いた単位円。倍角写像を線形化するための置換 $x=2\cos\theta$ を示している。
x=2cosθx=2\cos\thetax=2cosθと置く。すると、倍角公式P1(x)=x2−2=4cos2θ−2=2(2cos2θ−1)=2cos(2θ)P_1(x)=x^2-2=4\cos^2\theta-2=2(2\cos^2\theta-1)=2\cos(2\theta)P1(x)=x2−2=4cos2θ−2=2(2cos2θ−1)=2cos(2θ)により、cos(2θ)=2cos2θ−1\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1cos(2θ)=2cos2θ−1となる。