国際数学オリンピック · 1976年

問題

第1問面積が $32$ の凸四角形で、向かい合う2辺と1本の対角線の長さの和が $16$ である。もう一方の対角線の可能な長さをすべて求めよ。解答: 1
第2問 $P_1(x) = x^2 - 2$ とし、 $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ （ $j = 2, 3, \ldots$ ）と定める。任意の正の整数 $n$ について、方程式 $P_n(x) = x$ の根がすべて実数で、互いに異なることを証明せよ。解答: 1
第3問直方体の形をした箱は、辺の長さ $1$ の立方体で完全に埋め尽くすことができる。この箱に、体積 $2$ の立方体を、辺を箱の辺に平行にして、可能な限り多く詰めると、箱の体積のちょうど $40\%$ が占められる。このような箱の寸法として可能なものをすべて求めよ。解答: 1
第4問和が $1976$ となる正の整数の積として表される最大の数を、証明付きで求めよ。解答: 1
第5問 $p$ 本の方程式からなる、 $q=2p$ 個の未知数 $x_1,\ldots,x_q$ の連立方程式を考える。すべての係数 $a_{ij}$ は $\{-1,0,1\}$ に属する。この系が (a) すべての $x_j$ が整数、(b) 少なくとも1つの $x_j\ne0$ 、(c) すべての $j$ で $|x_j|\le q$ を満たす解を持つことを証明せよ。解答: 1
第6問数列 $(u_n)$ を、 $u_0=2$ 、 $u_1=\frac52$ 、および $u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1$ （ $n=1,2,\ldots$ ）によって定める。正の整数 $n$ ごとに、 $\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$ であることを証明せよ。ここで、 $\lfloor x\rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。解答: 1