P1P_1P1 の1回の反復が角度を単に2倍にするだけだとわかれば、nnn 回の反復は角度をnnn回続けて2倍にすることにほかならない。一見非線形に見える漸化式x2−2x^2-2x2−2は、実は極めて単純な操作θ↦2θ\theta\mapsto 2\thetaθ↦2θの変装にすぎない。
nnnに関する帰納法を用いる。基底の場合はステップ1で示され、帰納段階ではPn(2cosθ)=P1(Pn−1(2cosθ))=P1(2cos(2n−1θ))=2cos(2⋅2n−1θ)=2cos(2nθ)P_{n}(2\cos\theta)=P_1\big(P_{n-1}(2\cos\theta)\big)=P_1\big(2\cos(2^{n-1}\theta)\big)=2\cos(2\cdot 2^{n-1}\theta)=2\cos(2^n\theta)Pn(2cosθ)=P1(Pn−1(2cosθ))=P1(2cos(2n−1θ))=2cos(2⋅2n−1θ)=2cos(2nθ)を得る。したがって、すべてのPn(2cosθ)=2cos(2nθ)P_n(2\cos\theta)=2\cos(2^n\theta)Pn(2cosθ)=2cos(2nθ)についてn≥1n\ge1n≥1が成り立つ。