第2問

P_1(x) = x^2 - 2

とし、

P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))

（

j = 2, 3, \ldots

）と定める。任意の正の整数

n

について、方程式

P_n(x) = x

の根がすべて実数で、互いに異なることを証明せよ。

ステップ 3/6: 方程式

P_n(x)=x

を書き換える

ざっくり言うと

元の代数的な不動点方程式は純粋な三角方程式に変わり、初等的な方法で解けるようになる。これこそがこの置換の狙いである。

2\cos(2^n\theta) = 2\cos\theta \iff \cos(2^n\theta) = \cos\theta

詳しい解説

$x=2\cos\theta$ を $P_n(x)=x$ に代入し、ステップ2を用いると、 $2\cos(2^n\theta)=2\cos\theta$ 、すなわち $\cos(2^n\theta)=\cos\theta$ を得る。