コサインの等式に現れる符号±\pm±の2通りの選び方こそが、2つの独立した等差数列的な角度の族を生み出し、それぞれ別々に数えられることになる。
cosA=cosB\cos A=\cos BcosA=cosBが成り立つのは、ある整数A=±B+2kπA=\pm B+2k\piA=±B+2kπに対してkkkとなるとき、かつそのときに限る。これをA=2nθA=2^n\thetaA=2nθ、B=θB=\thetaB=θに適用すると、2つの系列が得られる。すなわち、(2n−1)θ=2kπ(2^n-1)\theta=2k\pi(2n−1)θ=2kπ、つまりθ=2kπ2n−1\theta=\dfrac{2k\pi}{2^n-1}θ=2n−12kπ、または(2n+1)θ=2lπ(2^n+1)\theta=2l\pi(2n+1)θ=2lπ、つまりθ=2lπ2n+1\theta=\dfrac{2l\pi}{2^n+1}θ=2n+12lπである。ここでk,lk,lk,lは整数である。