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第2問

P1(x)=x2−2P_1(x) = x^2 - 2 とし、Pj(x)=P1(Pj−1(x))P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))（j=2,3,…j = 2, 3, \ldots）と定める。任意の正の整数nnについて、方程式Pn(x)=xP_n(x) = xの根がすべて実数で、互いに異なることを証明せよ。
ステップ 5/6: x=2cos⁡θx=2\cos\thetaにおける相異なる[0,π][0,\pi]の値を数える
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ざっくり言うと

三角方程式の解を数えるには、まず基本領域を固定する必要がある。ここで[0,π][0,\pi]を選ぶことは、cos⁡\cosが全単射として振る舞うこととちょうど一致しており、これが正確な数え上げを可能にしている。

2n−1+(2n−1+1)−1=2n2^{n-1} + \big(2^{n-1}+1\big) - 1 = 2^n
詳しい解説

cos⁡θ\cos\thetaではθ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]の各値がちょうど1回ずつ現れるので、重複を避けるためこの範囲に制限する。これにより0≤k≤2n−1−120\le k\le 2^{n-1}-\tfrac12、すなわち2n−12^{n-1}にはkk個の整数値があり、また0≤l≤2n−1+120\le l\le 2^{n-1}+\tfrac12、すなわち2n−1+12^{n-1}+1にはll個の整数値がある。2つの系列はθ=0\theta=0（k=0k=0およびl=0l=0に対応）のみで重なる。したがって、θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi]における相異なる角度、ひいては相異なるx=2cos⁡θx=2\cos\thetaの総数は2n−1+(2n−1+1)−1=2n2^{n-1}+(2^{n-1}+1)-1=2^nである。