第2問

P_1(x) = x^2 - 2

とし、

P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))

（

j = 2, 3, \ldots

）と定める。任意の正の整数

n

について、方程式

P_n(x) = x

の根がすべて実数で、互いに異なることを証明せよ。

ステップ 6/6: 根の個数を次数と一致させる

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

次数 $d$ の多項式方程式は高々 $d$ 個の根しか持たない。直接構成によってちょうど $d$ 個の相異なる実根を見つけることは、すべての根が実数で互いに異なり、何も取りこぼしがないことを示す最も明快な方法である。

\deg P_n = 2^n

詳しい解説

$P_1$ を1回適用するたびに最高次の項の次数が2倍になるので、 $P_n$ の次数は $2^n$ であり、 $P_n(x)-x=0$ は次数 $2^n$ の多項式方程式である（次数についての帰納法で確認できる）。したがって、重複度を込めても高々 $2^n$ 個の根しか持たない。一方、ステップ5では、この方程式を満たす相異なる実数値がちょうど $2^n$ 個存在することを示した。ゆえに、 $x$ の $2^n$ 個の根はすべて網羅されており、実数で、しかも互いに異なる。