第3問

直方体の形をした箱は、辺の長さ

1

の立方体で完全に埋め尽くすことができる。この箱に、体積

2

の立方体を、辺を箱の辺に平行にして、可能な限り多く詰めると、箱の体積のちょうど

40\%

が占められる。このような箱の寸法として可能なものをすべて求めよ。

ステップ 1/6: 整数の辺の長さと詰め込み個数を設定する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

一辺の長さが無理数 $\sqrt[3]2$ の立方体を整数長の辺に沿って詰めると、必ず余りの隙間が生じる。床関数は、その隙間が現れる前に立方体が何個ちょうど収まるかを数えるのにまさに適した道具である。

x=\left\lfloor\frac{a}{\sqrt[3]2}\right\rfloor,\quad y=\left\lfloor\frac{b}{\sqrt[3]2}\right\rfloor,\quad z=\left\lfloor\frac{c}{\sqrt[3]2}\right\rfloor

詳しい解説

箱は単位立方体でちょうど埋め尽くせるので、その辺の長さ $a,b,c$ は正の整数であり、体積は $V_1=abc$ である。体積 $2$ の立方体の一辺の長さは $\sqrt[3]2$ である。したがって、辺の長さが $a$ の辺に沿って（辺を平行にして）収まる最大個数は $x=\left\lfloor a/\sqrt[3]2\right\rfloor$ であり、 $y,z$ についてもそれぞれ $b,c$ と同様に定まる。箱に収まる体積 $2$ の立方体の最大個数は $xyz$ だから、占有体積は $V_2=2xyz$ となる。