第3問

直方体の形をした箱は、辺の長さ

1

の立方体で完全に埋め尽くすことができる。この箱に、体積

2

の立方体を、辺を箱の辺に平行にして、可能な限り多く詰めると、箱の体積のちょうど

40\%

が占められる。このような箱の寸法として可能なものをすべて求めよ。

ステップ 4/6: 最初の辺を確定する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

3つの比を大小順に並べると、最大の比を $5$ の立方根と比較すればよい。小さな整数 $a=2,3,4$ だけを直接調べれば（それより大きい値は上界が縮小する議論で排除される）、すぐに値が確定する。

a=2,\ \frac ax=2

詳しい解説

一般性を失うことなく $a/x\ge b/y\ge c/z$ と仮定する。このとき $a/x\ge\sqrt[3]5$ である。もし $a\ge4$ なら $x\ge3$ であり、 $a/x<\sqrt[3]2(1+1/3)=\sqrt[3]2\cdot\frac43<\sqrt[3]5$ となる（ $2\cdot4^3<5\cdot3^3$ による）。これは矛盾なので、 $a\in\{2,3\}$ である。 $a=3$ のときは $x=2$ で、 $a/x=3/2<\sqrt[3]5$ となり、やはり矛盾する。したがって $a=2$ 、 $x=1$ 、 $a/x=2$ である。