MathLabs

第4問

和が 19761976 となる正の整数の積として表される最大の数を、証明付きで求めよ。
ステップ 2/6: 55以上の項をすべて除く
ざっくり言うと

大きな項は非効率的である。33を取り出して分割する方が、大きな整数をそのまま残すより積が大きくなる。

3(x−3)>xfor x≥53(x-3)>x\quad\text{for }x\ge5
詳しい解説

x≥5x\ge5 という項があれば、それを 33 と x−3x-3 に置き換える。和は変わらず、積は 3(x−3)/x>13(x-3)/x>1 倍になる。これは 3(x−3)>x3(x-3)>x だからである。したがって最適解には x≥5x\ge5 の項はない。