MathLabs

第6問

数列 (un)(u_n) を、u0=2u_0=2、u1=52u_1=\frac52、および un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1（n=1,2,…n=1,2,\ldots）によって定める。正の整数 nn ごとに、⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}} であることを証明せよ。ここで、⌊x⌋\lfloor x\rfloor は xx 以下の最大の整数を表す。
ステップ 1/6: 漸化式を記録する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この漸化式は恒等式 (2r+2−r)2−2=22r+2−2r(2^r+2^{-r})^2-2=2^{2r}+2^{-2r} が成り立つように設計されている。

u0=2,u1=52,un+1=un(un−12−2)−u1u_0=2,\quad u_1=\frac52,\quad u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1
詳しい解説

u0=2u_0=2、u1=52u_1=\frac52、および un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1（n≥1n\ge1）で定まる数列について、床関数の公式を証明する必要がある。各項を22のべきとその逆数の和で表すのが有用な着想である。