MathLabs

第6問

数列 (un)(u_n) を、u0=2u_0=2、u1=52u_1=\frac52、および un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1（n=1,2,…n=1,2,\ldots）によって定める。正の整数 nn ごとに、⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}} であることを証明せよ。ここで、⌊x⌋\lfloor x\rfloor は xx 以下の最大の整数を表す。
ステップ 2/6: 補助整数列を導入する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

指数列は、漸化式の指数表現を掛け合わせたときに現れる、同じ2段階の規則に従って増加する。

x0=0,x1=1,xn=xn−1+2xn−2x_0=0,\quad x_1=1,\quad x_n=x_{n-1}+2x_{n-2}
詳しい解説

x0=0x_0=0、x1=1x_1=1、および xn=xn−1+2xn−2x_n=x_{n-1}+2x_{n-2}（n≥2n\ge2）と定める。特性方程式は r2−r−2=0r^2-r-2=0 であり、その根は 22 と −1-1 なので、xn=2n−(−1)n3x_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}{3} である。