第6問

数列

(u_n)

を、

u_0=2

、

u_1=\frac52

、および

u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1

（

n=1,2,\ldots

）によって定める。正の整数

n

ごとに、

\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}

であることを証明せよ。ここで、

\lfloor x\rfloor

は

x

以下の最大の整数を表す。

ステップ 3/6: モデル数列を作る

ざっくり言うと

これは「座標変換」である。 $u_n$ の非線形に見える漸化式が、指数 $x_n$ における線形な加法に変わる。

a_n=2^{x_n}+2^{-x_n}

詳しい解説

$a_n=2^{x_n}+2^{-x_n}$ とおく。初期値は $a_0=2=u_0$ および $a_1=2+\frac12=\frac52=u_1$ と一致する。さらに、 $a_n$ が $u_n$ と同じ漸化式を満たすことを示す。