整数に 111 未満の正の分数を加えた数の床関数はその整数であり、xnx_nxn の閉形式は目標公式の指数そのものである。
n≥1n\ge1n≥1 では、xnx_nxn は正の整数なので、2xn2^{x_n}2xn は整数であり、0<2−xn<10<2^{-x_n}<10<2−xn<1 である。un=an=2xn+2−xnu_n=a_n=2^{x_n}+2^{-x_n}un=an=2xn+2−xn だから、⌊un⌋=2xn\lfloor u_n\rfloor=2^{x_n}⌊un⌋=2xn を得る。ステップ2の閉形式を代入すれば、⌊un⌋=22n−(−1)n3\boxed{\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}}⌊un⌋=232n−(−1)n となり、証明が完了する。