MathLabs

第1問

正方形 ABCDABCD の内部に正三角形 ABKABK, BCLBCL, CDMCDM, DANDAN を作る。KL,LM,MN,NKKL,LM,MN,NK および AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,ANAK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN の中点が正十二角形の12頂点であることを証明せよ。
ステップ 2/5: 4つの頂点を計算する
ざっくり言うと

1つの正三角形の頂点が分かれば、残りは対称性から求められる。

k=3−12(−1−i),l=ik,m=i2k,n=i3kk=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(-1-i),\quad l=ik,\quad m=i^2k,\quad n=i^3k
詳しい解説

1辺を中心方向に60∘60^\circ回転させると、k=3−12(−1−i)k=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(-1-i)を得る。90度回転対称性により、l=ikl=ik、m=i2km=i^2k、n=i3kn=i^3kとなる。