国際数学オリンピック · 1977年

問題

第1問正方形 $ABCD$ の内部に正三角形 $ABK$ , $BCL$ , $CDM$ , $DAN$ を作る。 $KL,LM,MN,NK$ および $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$ の中点が正十二角形の12頂点であることを証明せよ。解答: 1
第2問有限な実数列で、任意の7個の連続項の和は負、任意の11個の連続項の和は正である。列の最大長を求めよ。解答: 1
第3問 $n>2$ とし、 $V_n=\{1+kn:k=1,2,\ldots\}$ とする。 $V_n$ の元が $V_n$ の2元の積で表せないとき、それを既約元と呼ぶ。順序を除き、既約元の積表示が2通りある $V_n$ の元が存在することを証明せよ。解答: 1
第4問 $f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta$ を実数とし、 $a,b,A,B$ とする。すべての実数 $f(\theta)\ge0$ で $\theta$ ならば、 $a^2+b^2\le2$ および $A^2+B^2\le1$ を証明せよ。解答: 1
第5問正整数 $a,b$ に対し、 $a^2+b^2$ を $a+b$ で割った商を $q$ 、余りを $r$ とする。 $(a,b)$ となるすべての $q^2+r=1977$ を求めよ。解答: 1
第6問 $f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ とする。すべての正整数 $f(n+1)>f(f(n))$ で $n$ ならば、すべての正整数 $f(n)=n$ で $n$ であることを証明せよ。解答: 1