MathLabs

第3問

n>2n>2 とし、Vn={1+kn:k=1,2,…}V_n=\{1+kn:k=1,2,\ldots\} とする。VnV_n の元が VnV_n の2元の積で表せないとき、それを既約元と呼ぶ。順序を除き、既約元の積表示が2通りある VnV_n の元が存在することを証明せよ。
ステップ 1/6: 剰余類 −1-1 から4つの数を選ぶ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

−1-1 に合同な2数を掛けると半群 VnV_n に戻る。

n−1≡2n−1≡−1(modn)n-1\equiv2n-1\equiv-1\pmod n
詳しい解説

(n−1)2(n-1)^2、(2n−1)2(2n-1)^2、(n−1)(2n−1)(n-1)(2n-1) は、いずれも 1(modn)1\pmod n に合同なので VnV_n に属する。最初の2数の積は3つ目の平方に等しい：(n−1)2(2n−1)2=((n−1)(2n−1))2(n-1)^2(2n-1)^2=((n-1)(2n-1))^2。