MathLabs

第4問

f(θ)=1−acos⁡θ−bsin⁡θ−Acos⁡2θ−Bsin⁡2θf(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta を実数とし、a,b,A,Ba,b,A,B とする。すべての実数 f(θ)≥0f(\theta)\ge0 で θ\theta ならば、a2+b2≤2a^2+b^2\le2 および A2+B2≤1A^2+B^2\le1 を証明せよ。
ステップ 1/3: 第2調波を分離する
前のステップ次のステップ
f(θ)+f(θ+π)=2−2Acos⁡2θ−2Bsin⁡2θ≥0f(\theta)+f(\theta+\pi)=2-2A\cos2\theta-2B\sin2\theta\ge0
詳しい解説

π\pi だけ移動すると、a,ba,b を含む項が相殺される。従ってすべての θ\theta で Acos⁡2θ+Bsin⁡2θ≤1A\cos2\theta+B\sin2\theta\le1 である。この正弦波の最大振幅は A2+B2\sqrt{A^2+B^2} なので、A2+B2≤1A^2+B^2\le1 を得る。