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第4問

f(θ)=1−acos⁡θ−bsin⁡θ−Acos⁡2θ−Bsin⁡2θf(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta を実数とし、a,b,A,Ba,b,A,B とする。すべての実数 f(θ)≥0f(\theta)\ge0 で θ\theta ならば、a2+b2≤2a^2+b^2\le2 および A2+B2≤1A^2+B^2\le1 を証明せよ。
ステップ 2/3: 第1調波を分離する
前のステップ次のステップ
f(θ)+f(θ+π2)=2−(a+b)cos⁡θ+(a−b)sin⁡θ≥0f(\theta)+f(\theta+\frac{\pi}{2})=2-(a+b)\cos\theta+(a-b)\sin\theta\ge0
詳しい解説

π2\frac{\pi}{2} の移動で二倍角の項が消える。残る正弦波の振幅は (a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2\sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}=\sqrt{2a^2+2b^2} である。非負性より 2a2+2b2≤2\sqrt{2a^2+2b^2}\le2、従って a2+b2≤2a^2+b^2\le2。