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第5問

正整数 a,ba,b に対し、a2+b2a^2+b^2 を a+ba+b で割った商を qq、余りを rr とする。(a,b)(a,b) となるすべての q2+r=1977q^2+r=1977 を求めよ。
ステップ 3/4: 平方完成する
a2+b2=44(a+b)+41⟹(a−22)2+(b−22)2=1009a^2+b^2=44(a+b)+41\Longrightarrow(a-22)^2+(b-22)^2=1009
詳しい解説

q=44,r=41q=44,r=41 を割り算の等式に代入して平方完成すると (a−22)2+(b−22)2=1009(a-22)^2+(b-22)^2=1009 を得る。10091009 以下の平方を調べると、順序を除き 1009=152+2821009=15^2+28^2 のみである。