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第6問

f:Z>0→Z>0f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0} とする。すべての正整数 f(n+1)>f(f(n))f(n+1)>f(f(n)) で nn ならば、すべての正整数 f(n)=nf(n)=n で nn であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 最初の末尾の最小値を定める
ざっくり言うと

不等式により後の各項は最小値になれない。

f(m)>f(f(m−1))(m>1)f(m)>f(f(m-1))\quad(m>1)
詳しい解説

m>1m>1 に対して仮定を m−1m-1 に適用する。すると f(m)f(m) は数列の別の値より真に大きく、全体の最小値にはなれない。正整数の整列性より最小値は存在し、それは一意に f(1)f(1) である。