確定した初項部分を除き、最初の末尾と同じ議論を繰り返す。
SnS_nSn と、それ以前に確立したすべての末尾最小値の命題を仮定する。m>n+1m>n+1m>n+1 なら f(m−1)>f(n)f(m-1)>f(n)f(m−1)>f(n) より SnS_nSn である。また、以前の命題から f(n)>f(n−1)>⋯>f(1)≥1f(n)>f(n-1)>\cdots>f(1)\ge1f(n)>f(n−1)>⋯>f(1)≥1 なので f(n)≥nf(n)\ge nf(n)≥n、従って f(m−1)≥n+1f(m-1)\ge n+1f(m−1)≥n+1 となる。ゆえに f(m−1)f(m-1)f(m−1) は n+1n+1n+1 から始まる末尾の添字である。仮定より f(m)>f(f(m−1))f(m)>f(f(m-1))f(m)>f(f(m−1)) だから、f(m)f(m)f(m) はその末尾の最小値ではない。最小値は存在するので、それは一意に f(n+1)f(n+1)f(n+1) であり、Sn+1S_{n+1}Sn+1 が成り立つ。