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第1問

mm を満たす正の整数 nn, 1≤m<n1 \le m < n について、1978m1978^m の十進表示における下3桁が 1978n1978^n の下3桁と等しいとする。mm が最小となるような nn, m+nm+n を求めよ。
ステップ 3/8: 8 の因子から m ≥ 3 を導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

奇数の因子は2のべきを一切供給できないので、3個の2はすべて1978^mから来なければならない。

1978≡2(mod8)  ⇒  8∣1978m  ⟺  m≥31978 \equiv 2 \pmod 8 \;\Rightarrow\; 8 \mid 1978^m \iff m \ge 3
詳しい解説

法8の部分については 1978 n−m−11978^{\,n-m}-1 は奇数であるから、88 は 1978m1978^m を直接割り切らなければならない。1978≡2(mod8)1978\equiv 2\pmod 8 なので、これは m≥3m\ge 3 のとき、かつそのときに限り成り立つ。