国際数学オリンピック · 1978年

問題

第1問 $m$ を満たす正の整数 $n$ , $1 \le m < n$ について、 $1978^m$ の十進表示における下3桁が $1978^n$ の下3桁と等しいとする。 $m$ が最小となるような $n$ , $m+n$ を求めよ。解答: 1
第2問固定された球の内部に固定点 $P$ をとる。頂点 $PA, PB, PC$ が球面上にあり、互いに直交する3本の線分 $A, B, C$ を作る。 $Q$ を辺とする直方体において $P$ と対称な頂点を $PA, PB, PC$ とする。 $Q$ が条件を満たすすべての位置を取るとき、点 $A, B, C$ の軌跡を求めよ。解答: 1
第3問 $0<f(1)<f(2)<f(3)<\ldots$ を、正の整数からなる数列とする。この数列に属さない正の整数のうち $n$ 番目のものは $f(f(n))+1$ である。 $f(240)$ を求めよ。解答: 1
第4問三角形 $ABC$ で $AB=AC$ とする。外接円に内接接する円が $AB,AC$ にそれぞれ $P,Q$ で接している。 $PQ$ の中点が三角形 ABC の内心であることを証明せよ。解答: 1
第5問 $f$ を $\{1,2,3,\ldots\}$ からそれ自身への単射とする。任意の $n$ について $\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1}$ を証明せよ。解答: 1
第6問6か国の会員からなる国際学会がある。会員名簿には $1978$ 名がおり、 $1,2,\ldots,1978$ と番号が付いている。ある会員の番号が同じ国の2人の会員の番号の和、または同じ国の1人の会員の番号の2倍となる会員が存在することを証明せよ。解答: 1