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第1問

mm を満たす正の整数 nn, 1≤m<n1 \le m < n について、1978m1978^m の十進表示における下3桁が 1978n1978^n の下3桁と等しいとする。mm が最小となるような nn, m+nm+n を求めよ。
ステップ 7/8: 小さい約数 4 と 20 を除外する
ざっくり言うと

位数は100の約数かつ4の倍数でなければならないので、2つの値を調べるだけで完全に決定できる。

19784≡6, 197820≡26(mod125)  ⇒  ord125(1978)=1001978^4\equiv 6,\ 1978^{20}\equiv 26 \pmod{125} \;\Rightarrow\; \mathrm{ord}_{125}(1978)=100
詳しい解説

法125125での直接計算により 19784≡61978^4\equiv 6、197820≡261978^{20}\equiv 26 となり、いずれも 11 と異なるので、44 も 2020 も位数ではない。残る候補は 100100 のみである。