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第2問

固定された球の内部に固定点 PP をとる。頂点 PA,PB,PCPA, PB, PC が球面上にあり、互いに直交する3本の線分 A,B,CA, B, C を作る。QQ を辺とする直方体において PP と対称な頂点を PA,PB,PCPA, PB, PC とする。QQ が条件を満たすすべての位置を取るとき、点 A,B,CA, B, C の軌跡を求めよ。
ステップ 3/7: 直交するベクトルに対するピタゴラスの恒等式を適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

直交する辺は、2次元のピタゴラスの定理を3次元に拡張したように、長さの2乗を足し合わせる。

∣PQ⃗∣2=∣PA⃗∣2+∣PB⃗∣2+∣PC⃗∣2|\vec{PQ}|^2 = |\vec{PA}|^2+|\vec{PB}|^2+|\vec{PC}|^2
詳しい解説

PA⃗,PB⃗,PC⃗\vec{PA},\vec{PB},\vec{PC} は互いに直交するため、その和を2乗すると交差項がすべて消え、∣PQ⃗∣2|\vec{PQ}|^2 は3辺の長さの2乗の和に等しくなる——これは空間版のピタゴラスの定理である。