各距離の2乗を展開することで、幾何学的な和が位置ベクトルの純粋な代数式に変わる。
∣A∣=∣B∣=∣C∣=R|A|=|B|=|C|=R∣A∣=∣B∣=∣C∣=R、∣P∣=d|P|=d∣P∣=d であるから、各項 ∣PA⃗∣2=∣A−P∣2|\vec{PA}|^2=|A-P|^2∣PA∣2=∣A−P∣2 は R2−2A⋅P+d2R^2-2A\cdot P+d^2R2−2A⋅P+d2 に展開され、B,CB,CB,C についても同様である。和をとる際に最初のステップの A+B+C=Q+2PA+B+C=Q+2PA+B+C=Q+2P を用いる。