MathLabs

第4問

三角形 ABCABC で AB=ACAB=AC とする。外接円に内接接する円が AB,ACAB,AC にそれぞれ P,QP,Q で接している。PQPQ の中点が三角形 ABC の内心であることを証明せよ。
ステップ 5/5: 内心を同定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ軸と距離から M は内心である。

AI=Lcos⁡α1+sin⁡α=AMAI=\frac{L\cos\alpha}{1+\sin\alpha}=AM
詳しい解説

面積は L2sin⁡αcos⁡αL^2\sin\alpha\cos\alpha、半周長は L(1+sin⁡α)L(1+\sin\alpha) なので r=Lsin⁡αcos⁡α/(1+sin⁡α)r=L\sin\alpha\cos\alpha/(1+\sin\alpha)。従って AI=r/sin⁡α=Lcos⁡α/(1+sin⁡α)=AMAI=r/\sin\alpha=L\cos\alpha/(1+\sin\alpha)=AM、よって MM は内心である。