MathLabs

第5問

ff を {1,2,3,…}\{1,2,3,\ldots\} からそれ自身への単射とする。任意の nn について ∑k=1nf(k)k−2≥∑k=1nk−1\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1} を証明せよ。
ステップ 2/4: 値を昇順に並べる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

減少する重みは小さい数を先に置く。

∑k=1nakk2≥∑k=1nak↑k2\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac{a_k^\uparrow}{k^2}
詳しい解説

重み 1,1/4,…,1/n21,1/4,\ldots,1/n^2 は kk とともに減少する。並べ替え不等式より、最小値を最大の重みと組み合わせると和が最小になるので、aka_k を昇順に並べても和は増えない。