MathLabs

第5問

ff を {1,2,3,…}\{1,2,3,\ldots\} からそれ自身への単射とする。任意の nn について ∑k=1nf(k)k−2≥∑k=1nk−1\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1} を証明せよ。
ステップ 3/4: 相異性を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

相異なる正整数は 1,2,...,n より小さく始められない。

ak↑≥k⇒∑k=1nak↑k2≥∑k=1nkk2a_k^\uparrow\ge k\quad\Rightarrow\quad\sum_{k=1}^n\frac{a_k^\uparrow}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^2}
詳しい解説

昇順列 ak↑a_k^\uparrow は相異なる正整数からなるため、その第 kk 項は少なくとも kk である。正の重み 1/k21/k^2 を掛けて和を取ると上の評価を得る。