MathLabs

第5問

ff を {1,2,3,…}\{1,2,3,\ldots\} からそれ自身への単射とする。任意の nn について ∑k=1nf(k)k−2≥∑k=1nk−1\sum_{k=1}^{n} f(k)k^{-2} \geq \sum_{k=1}^{n} k^{-1} を証明せよ。
ステップ 4/4: 不等式を結論する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最小値は恒等的な並びで達成される。

∑k=1nf(k)k2≥∑k=1nkk2=∑k=1n1k\sum_{k=1}^n\frac{f(k)}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac{k}{k^2}=\sum_{k=1}^n\frac1k
詳しい解説

並べ替えの段階と ak=f(k)a_k=f(k) を合わせると、求める不等式そのものが得られる。